Tổng của lập phương n số đầu tiên bằng bình phương của tổng n số đầu tiên:

1 3 + 2 3 + ⋯ + n 3 = ( 1 + 2 + ⋯ + n ) 2 = ( n ( n + 1 ) 2 ) 2 . {\displaystyle 1^{3}+2^{3}+\dots +n^{3}=(1+2+\dots +n)^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}.} (1)

Công thức của Charles Wheatstone (1854):

n 3 = ( n 2 − n + 1 ) + ( n 2 − n + 1 + 2 ) + ( n 2 − n + 1 + 4 ) + ⋯ + ( n 2 + n − 1 ) ⏟ n  so le lien tiep . {\displaystyle n^{3}=\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\left(n^{2}-n+1+2\right)+\left(n^{2}-n+1+4\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n{\text{ so le lien tiep}}}.}

Để chứng minh công thức (1) chúng ta có thể dùng cách sau:

∑ k = 1 n k 3 = 1 + 8 + 27 + 64 + ⋯ + n 3 = 1 ⏟ 1 3 + 3 + 5 ⏟ 2 3 + 7 + 9 + 11 ⏟ 3 3 + 13 + 15 + 17 + 19 ⏟ 4 3 + ⋯ + ( n 2 − n + 1 ) + ⋯ + ( n 2 + n − 1 ) ⏟ n 3 = 1 ⏟ 1 2 + 3 ⏟ 2 2 + 5 ⏟ 3 2 + ⋯ + ( n 2 + n − 1 ) ⏟ ( n 2 + n 2 ) 2 = ( 1 + 2 + ⋯ + n ) 2 = ( ∑ k = 1 n k ) 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k^{3}&=1+8+27+64+\cdots +n^{3}\\&=\underbrace {1} _{1^{3}}+\underbrace {3+5} _{2^{3}}+\underbrace {7+9+11} _{3^{3}}+\underbrace {13+15+17+19} _{4^{3}}+\cdots +\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n^{3}}\\&=\underbrace {\underbrace {\underbrace {\underbrace {1} _{1^{2}}+3} _{2^{2}}+5} _{3^{2}}+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{\left({\frac {n^{2}+n}{2}}\right)^{2}}\\&=(1+2+\cdots +n)^{2}\\&={\bigg (}\sum _{k=1}^{n}k{\bigg )}^{2}.\end{aligned}}}

Tổng của lập phương n số nguyên lẻ đầu tiên

Tổng của lập phương n số nguyên lẻ đầu tiên được tính theo công thức sau:

1 3 + 3 3 + ⋯ + ( 2 y − 1 ) 3 = ( x y ) 2 {\displaystyle 1^{3}+3^{3}+\dots +(2y-1)^{3}=(xy)^{2}}

Trong đó x,y phải thỏa mãn phương trình Pell x2 − 2y2 = −1. Ví dụ cho:y = 5 và 29:

1 3 + 3 3 + ⋯ + 9 3 = ( 7 ⋅ 5 ) 2 {\displaystyle 1^{3}+3^{3}+\dots +9^{3}=(7\cdot 5)^{2}} 1 3 + 3 3 + ⋯ + 57 3 = ( 41 ⋅ 29 ) 2 {\displaystyle 1^{3}+3^{3}+\dots +57^{3}=(41\cdot 29)^{2}}